ECTS @ IUE ECTS @ IUE ECTS @ IUE ECTS @ IUE ECTS @ IUE ECTS @ IUE ECTS @ IUE

Ders Bilgi Formu ( MAT 679 )

   Temel bilgiler
Ders adı: Fraksiyonel Diferansiyel Denklemler Teorisi
Ders kodu: MAT 679
Öğretim üyesi: Prof. Dr. Coşkun YAKAR
AKTS kredisi: 7.5
GTÜ kredisi: 3 (3+0+0)
Yılı, Dönemi: 1/2/3/4, Güz ve Bahar
Dersin düzeyi: Yüksek lisans
Dersin tipi: Alan seçmeli
Öğretim dili: İngilizce
Öğretim şekli: Yüz yüze
Ön koşullar: Diferansiyel Denklemler Teorisi I, Diferansiyel Denklemler Teorisi II
Staj durumu: Yok
Dersin amacı: Fraksiyonel mertebeli Dinamik Sistemlerln stabilite sonuçlarını ve uygulamalarını çalışmak.
   Öğrenme çıktıları Yukarı

Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler, şu yetilere sahip olurlar:

  1. Fraksiyonel mertebeli Türevlerin temel kavramlarını açıklayabilir

    Program Çıktılarına Katkıları

    1. İleri düzey Matematik kavramlarını tanımlamak ve uygulamak
    2. Matematik, iletişim, problem çözme ve beyin fırtınası yetilerini geliştirmek

    Değerlendirme Tipi

    1. Yazılı sınav
  2. Fraksiyonel Dinamik Sistemlerin Temel Tanımlarını, Kavramları, Teoremleri, Stabilite ve Uygulamalarını açıklayabilir ve elde edebilirler

    Program Çıktılarına Katkıları

    1. İleri düzey Matematik kavramlarını tanımlamak ve uygulamak
    2. Matematik ile diğer disiplinler arasında ilişki kurmak ve disiplinlerarası problemler için matematiksel modeller geliştirmek
    3. Bilimsel bilgiye ulaşmak ve bağımsız çalışmak
    4. Bağımsız olarak araştırma projelerini tasarlamak ve yürütmek
    5. Matematik, iletişim, problem çözme ve beyin fırtınası yetilerini geliştirmek

    Değerlendirme Tipi

    1. Yazılı sınav
  3. Fraksiyonel mertebeli Dinamik Sistemlerle ilgili tecrübe kazanır

    Program Çıktılarına Katkıları

    1. İleri düzey Matematik kavramlarını tanımlamak ve uygulamak
    2. Matematik ile diğer disiplinler arasında ilişki kurmak ve disiplinlerarası problemler için matematiksel modeller geliştirmek
    3. Bilimsel bilgiye ulaşmak ve bağımsız çalışmak
    4. Disiplinlerarası etkileşim bulunan araştırma takımlarında etkin şekilde çalışmak
    5. Matematik, iletişim, problem çözme ve beyin fırtınası yetilerini geliştirmek

    Değerlendirme Tipi

    1. Ödev
    2. Seminer/sunum
    3. Dönem projesi
  4. Adi Diferansiyel Denklemler Teorisindeki esasları Fraksiyonel mertebeli Diferansiyel Denklem Teorisine Genelleştirir, Belirtir ve Uygulayabilirler

    Program Çıktılarına Katkıları

    1. İleri düzey Matematik kavramlarını tanımlamak ve uygulamak
    2. Matematik ile diğer disiplinler arasında ilişki kurmak ve disiplinlerarası problemler için matematiksel modeller geliştirmek
    3. Bilimsel bilgiye ulaşmak ve bağımsız çalışmak
    4. Matematik, iletişim, problem çözme ve beyin fırtınası yetilerini geliştirmek
    5. Araştırma konusu ile ilgili fikir ve bulgularını sözlü ve yazılı olarak etkin şekilde ifade edebilmek

    Değerlendirme Tipi

    1. Seminer/sunum
    2. Dönem projesi
  5. Fraksiyonel mertebeli Dinamik Sistemlerln Stabilite Sonuçlarını ve Uygulamalarını yorumlayabilirler

    Program Çıktılarına Katkıları

    1. İleri düzey Matematik kavramlarını tanımlamak ve uygulamak
    2. Matematik ile diğer disiplinler arasında ilişki kurmak ve disiplinlerarası problemler için matematiksel modeller geliştirmek
    3. Bilimsel bilgiye ulaşmak ve bağımsız çalışmak
    4. Hızla değişen teknolojik çevreye adapte olabilmek için bilgi ve yetilerini sürekli geliştirmek
    5. Matematik, iletişim, problem çözme ve beyin fırtınası yetilerini geliştirmek
    6. Profesyonel ve etik davranış sorumluluğu kazanmak

    Değerlendirme Tipi

    1. Ödev
   İçerik Yukarı
1. hafta: Bazı ilişkili fonksiyonlar: Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu ve Mittag-Leffler fonksiyonu. Riemann-Liouville(R-L) keyfi mertebeli fraksiyonel integral ve türevleri.
2. hafta: Grünwald-Letnikov (G-L) türevi. Caputo türevi. Fraksiyonel Türevin Ortalama Değer teoremi. Dini türevleri ve Mukayese Teoremleri.
3. hafta: Volterra tipli fraksiyonel integral eşitsizlikler. Fraksiyonel diferansiyel eşitsizlikler.
4. hafta: Yerel varlık Teoremleri ve ekstirimal çözümler. Varlık, Teklik ve Sürekli bağımlılık. Yaklaşık Çözümler ve global varlık.
5. hafta: Lineer fraksiyonel mertebeli diferansiyel denklemler. Fraksiyonel mertebeli diferansiyel denklemlerin sonlu sistemleri. Euler çözümün varlığı.
6. hafta: Caputo fraksiyonel mertebeli diferansiyel denklemler. Ara Sınav I.
7. hafta: Bir sektör de Teorik ve yapıcı varlık sonuçları. Genelleştirilmiş Monoton İteratif Teknik. Periodik Sınır Değer Problemi için Monoton Teknik. PSDP için Genelleştirilmiş Monoton İteratif Teknik.
8. hafta: Kuasilineerizasyon Metod. Genelleştirilmiş Kuasilineerizasyon Metod. Stabilite Kriteri. Yakınsal normal ve akış değişmezliği. Fraksiyonel ve Diferansiyel denklemler arasındaki ilişkiler.
9. hafta: Caputo türevli fraksiyonel diferansiyel denklemler için temel mukayese sonuçları.
10. hafta: Stabilite Kriterleri ve iki ölçü cinsinden Stabilite Kriterleri.
11. hafta: İki ölçü cinsinden Sınırlılık ve Lagrange stabilite. Birtakım Lyapunov fonksiyonları. Katlı- mertebeli fraksiyonel diferansiyel sistemler. Diferansiyel denklemler yolu ile katlı-mertebeli sistemlerin stabilitesi.
12. hafta: Fraksiyonel Fonksiyonel diferansiyel denklemler. Ara Sınav II.
13. hafta: Rastgele operatörlerin dahil olduğu Fraksiyonel diferansiyel denklemler. Banach Uzayında Fraksiyonel diferansiyel denklemler.
14. hafta: Yerel olmayan sınır değer problemleri. SDP için pozitif çözümler. SDP için Fraksiyonel diferansiyel kapsamalar. Fraksiyonel evrim denklemlerinin hemen hemen otomorfik çözümleri.
15. hafta*: -
16. hafta*: Final Sınavı.
Ders kitapları ve materyaller: Lakshmikantham, V. Leela, S. and Vasundhara Devi, J. Theory of Fractional Dynamical Systems,Cambridge Scientific Publishers 2009.
Önerilen kaynaklar: Caputo, M. , Linear models of dissipation whose Q is almost independent, II, Geophy. J. Roy. Astronom. 13 (1967) 529--539.
2 : Brauer, F. and Nohel, J., The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, W.A. Benjamin, Inc., New York 1969.
3 : Oldham, K. B. and Spanier, J., The Fractional Calculus, Academic Press, New York, 1974.
4 : Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., Trujillo, J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Amsterdam, The Netherlands, 2006.
5 : Lakshmikantham, V. and Leela, S., Differential and Integral Inequalities, Vol. 1, Academic Press, New York 1969.
6 : Lakshmikantham, V., Leela, S. and Martynyuk, A.A., Stability Analysis of Nonlinear Systems, Marcel Dekker, New York 1989.
7 : Lakshmikantham, V. Leela, S. and Vasundhara Devi, J. Theory of Fractional Dynamical Systems,Cambridge Scientific Publishers 2009.
8 : Lakshmikantham, V. and Vatsala, A.S., Differential inequalities with time difference and application, Journal of Inequalities and Applications 3, (1999) 233-244.
9 : Lakshmikanthama, V. and Vatsala, A.S. Basic theory of fractional differential equations. Nonlinear Analysis 69 (2008) 2677--2682
10 : Podlubny, I., Fractional Differential Equations, Acad. Press, New York 1999.
11 : Samko, S., Kilbas, A. and Marichev, O. Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications, Gordon and Breach, 1993, 1006 pages, ISBN 2881248640.
12 : Shaw, M.D. and Yakar, C., Generalized variation of parameters with initial time difference and a comparison result in term Lyapunov-like functions, International Journal of Non-linear Differential Equations-Theory Methods and Applications 5, (1999) 86-108.
13 : Shaw, M.D. and Yakar, C., Stability criteria and slowly growing motions with initial time difference, Problems of Nonlinear Analysis in Engineering Systems 1, (2000) 50-66.
14 : Yakar, C. Boundedness Criteria in Terms of Two Measures with Initial Time Difference. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. Watam Press. Waterloo. Page: 270-275. DCDIS 14 (S2) 1-305 (2007).
15 : Yakar C., Strict Stability Criteria of Perturbed Systems with respect to Unperturbed Systems in term of Initial Time Difference. Proceedings of the Conference on Complex Analysis and Potential Theory. World Scientific Publishing. Page: 239-248 (2007).
16 : Yakar C. and Shaw, M.D., A Comparison Result and Lyapunov Stability Criteria with Initial Time Difference. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. A: Mathematical Analysis. Volume 12, Number 6 (2005) (731-741).
17 : Yakar C. and Shaw, M.D., Initial Time Difference Stability in Terms of Two Measures and Variational Comparison Result. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis 15 (2008) 417-425.
18 : Yakar C. and Shaw, M.D., Practical stability in terms of two measures with initial time difference. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. Vol. 71 (2009) e781-e785.
19 : Yakar C., Fractional Differential Equations in Terms of Comparison Results and Lyapunov Stability with Initial Time Difference. Abstract and Applied Analysis. (Accepted) Vol 3. Volume 2010, Article ID 762857, 16 pages doi:10.1155/2010/762857. (2010)
  * 15. ve 16. haftalar arası final sınavına hazırlık haftası bulunmaktadır.
Değerlendirme Yukarı
Değerlendirme tipi Hafta numarası Ağırlık (%)
Ara sınavlar (Vizeler): 6, 12 40
Dönem içi diğer çalışmalar: 7,13 5
Proje: 8,14 5
Ödev: 1,2,3,4,9,10,13,15 5
Kısa sınav (Quiz): 5,11 5
Final sınavı: 16 40
  Toplam ağırlık:
(%)
   İş yükü Yukarı
Etkinlik Süre (Haftalık saat) Toplam hafta sayısı Dönem boyu toplam iş yükü
Dersler (Yüz yüze öğretme): 3 14
Ders dışı bireysel çalışma: 3 14
Uygulama, Rehberli problem çözme: 0 0
Ödev: 6 8
Dönem projesi: 10 2
Dönem projesi sunumu: 1 1
Kısa sınav (Quiz): 1 2
Ara sınav için bireysel çalışma: 10 1
Ara sınav (Vize): 1 2
Final sınavı için bireysel çalışma: 15 1
Final sınavı: 2 1
    Toplam işyükü:
    Toplam AKTS kredisi:
*
  * AKTS kredisi, toplam iş yükünün 25'e bölümüdür. (1 AKTS = 25 saatlik iş yükü)
-->